Zbiory

Zbiór to pojęcie podstawowe, niedefiniowalne.
Przykłady zbiorów: zbiór liczb naturalnych, całkowitych, rzeczywistych, zbiór prostokątów, zabawek, ludzi etc.Zbiory oznacza się dużymi literami: A, B, C, D… a ich elementy – małymi: a, b, c, d…Jeśli element a należy do zbioru B zapisujemy to w ten sposób:

. Jeśli element a nie należy do zbioru B, zapisujemy: .Zbiór A składający się z elementów a, b, c, d zapiszemy za pomocą: A = {a, b, c, d}Zbiór pusty – zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Oznaczamy go za pomocą symbolu . Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B (jest podzbiorem zbioru B), znaczy to, że każdy element zbioru A jest elementem zbioru B: . Jeżeli i , zbiór nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B.Dwa zbiory A i B są równe (co oznaczamy ), jeśli A jest podzbiorem B i B jest podzbiorem A. A więc: .Działania na zbiorachSuma zbiorów A i B to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B. Oznaczamy ją za pomocą: .Różnica zbiorów A i B to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. Oznaczamy ją za pomocą wzoru: .Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Oznaczamy go za pomocą wzoru: .Zbiory A i B są rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy .Zbiory są podzbiorami pewnej przestrzeni – np. osi liczbowej, punktów płaszczyzny, punktów przestrzeni. Oznaczamy tę przestrzeń przez U.Jeżeli , jest dowolnym zbiorem (w przestrzeni U), to zbiór A’ = U – A nazywamy dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni U). Zatem .Własności działań na zbiorachPrawa (dotyczące) rachunku zbiorówDla dowolnych zbiorów A, B, C:1)
2)
3) I prawo De Morgana dla zbiorów – dopełnienie sumy dwóch zbiorów jest iloczynem dopełnień tych zbiorów:
4) II prawo De Morgana dla zbiorów – dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów jest sumą dopełnień tych zbiorów:
5) Przemienność dodawania wzorów:
6) Łączność dodawania zbiorów:
7) Przemienność mnożenia zbiorów:
8) Łączność mnożenia zbiorów:
9) Rozdzielność mnożenia zbiorów względem ich dodawania:
10) Rozdzielność dodawania zbiorów względem ich mnożenia: