Funkcja liniowa

Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy tylko takie przyporządkowanie (odwzorowanie), w którym każdemu elementowi zbioru X zostaje przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y. Funkcję tę oznaczamy f:X –> Y.
Zwyczajowo funkcję oznacza się małymi literami, np. f, g, h.Jeżeli zbiory X i Y są niepustymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych (

,

), to funkcję

nazywamy funkcją liczbową zmiennej rzeczywistej.Dziedzina i zbiór wartości funkcjiDziedzina jest to zbiór wszystkich argumentów danej funkcji.Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji a zbiór Y przeciwdziedziną funkcji.Zbiorem wartości funkcji f nazywamy zbiór wartości należących do zbioru Y, któremu zostały przyporządkowane elementy ze zbioru X.
Zbiór wartości funkcji f (oznaczany symbolem

) to zbiór wszystkich elementów postaci f(x) dla

.
Zapis „f (x) = 4” czytamy: dla argumentu x funkcja f przyjmuje wartość 4.Sposoby przedstawiania funkcjiFunkcję można przedstawić na parę sposobów:

• przepisem słownym,
• tabelką,
• grafem,
• jako zbiór par uporządkowanych,
• wzorem,
• wykresem (graficznie).

JAK PRZEDSTAWIĆ FUNKCJĘ ZA POMOCĄ: • Przepisu słownego:„Dane są zbiory X = {0, 1, 4, 9}, Y = {0, 1, 2, 3}, wówczas każdej liczbie ze zbioru X przyporządkowujemy jej pierwiastek kwadratowy”.• Tabelki:

• Grafu: x y

f: X –> Y• Zbioru par uporządkowanych:{ (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) } • Wzoru:

, gdzie

lub

, gdzie

lub

, gdzie

• Wykresu:

Wykresem funkcji liczbowej

nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych (x, y), w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x jest argumentem funkcji, y zaś wartością funkcji dla argumentu x.Funkcja liniowaFunkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = ax + b, gdzie a, b są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.

Miejsce zeroweMiejscem zerowym funkcji y = f(x) nazywamy liczbę x₁, która spełnia warunek f(x₁) = 0.
Jeżeli

, to funkcja liniowa jest funkcją różnowartościową i posiada jedno miejsce zerowe (x, 0), gdzie

. Interpretacja graficzna miejsca zerowego to punkt, w którym wykres funkcji przecina bądź styka się z osią OX w układzie współrzędnych.Jeśli funkcja nie jest funkcją stałą, posiada dokładnie jedno miejsce zerowe.Jeśli funkcja jest funkcją stałą, to albo nie posiada miejsc zerowych (b ≠ 0), albo wszystkie jej argumenty są miejscami zerowymi (b = 0).

• a > 0 – funkcja rosnąca
• a
• a = 0 – funkcja stała

Tę właściwość nazywamy monotonicznością funkcji liniowej.

funkcja rosnąca funkcja malejąca funkcja stałaRówność funkcjiFunkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne dziedziny oraz dla każdego argumentu należącego do ich wspólnej dziedziny wartości obu funkcji są jednakowe.Definicja (iloczyn liczby przez funkcję):Jeśli

, a f jest funkcją liczbową, to kf jest funkcją określoną następująco:

, gdzie

.